Sihirli Sayılar ve Mükemmel Eşitlikler

Matematik, hayatın ta kendisidir. Yaşadığımız her an, çevremizde gördüğümüz hemen her şey matematikle iç içedir. Peki, hayatımızla bu kadar iç içe olan bir olgudan neden bu kadar korkuyoruz? Neden sevmiyoruz? Bu soruların cevabı okula ilk başladığınız zamanda gizli. Okula yeni başlayan bir çocuğa matematiğin ne kadar zor olduğundan dem vurularak, matematik 1-0 geriden başlatılıyor, bu okul ve eğitimle ilgili daha hiçbir şeyden haberi olmayan çocuğa matematik öcü gibi gösteriliyor. Bu tutum eğitim hayatı boyunca da devam ediyor. Açın bakın ders kitaplarına; ne kadar soğuk bir anlatım var. Oysa ki matematiğin güzelliklerinden, sayıların ahenginden bahsetse her şey daha farklı olabilir. Şimdi matematiğin bu güzel yanlarından olan ahenkli, insanı hayran bırakan bir nevi “sihirli” sayılara ve eşitliklere bir göz atalım;

1.Mükemmel Sayılar:
Mükemmel sayı terimini ilk olarak Pisagor ortaya atmıştır. Pisagor’a göre sayılsa mükemmellik, bir sayının bölenleriyle ilgiliydi. Mesela en önemli ve en “mükemmel” sayılar, bölenlerinin toplamı kendine eşit olan sayılardır. İşte böyle sayılara, yani bölenlerinin toplamı kendisini veren sayılara mükemmel sayılar deniyor.

* 6 sayısı bir mükemmel sayıdır. 6 sayısının bölenleri: 1, 2 ve 3’tür.
1+2+3=6

* Bir sonraki mükemmel sayımız 28’dir. 28 sayısının bölenleri: 1, 2, 4, 7 ve 14’tür.
1+2+4+7+14=28

* Üçüncü mükemmel sayı 496, dördüncüsü ise 8128’dir.
Sayılar büyüdükçe mükemmel sayıları bulmak daha da zorlaşır.

Mükemmel sayıların yetenekleri sadece bölenleri toplamlarına eşit olmasıyla sınırlı değildir; mükemmel sayılar, daima birbirini izleyen bir dizi sayma sayısının toplamına eşittir. Aşağıdaki örnekten bunu inceleyebiliriz;

6 = 1+2+3
28 = 1+2+3+4+5+6+7
496 = 1+2+3+4+………+30+31
8128 = 1+2+3+………..+126+127

Pisagor’dan sonra Öklid mükemmel sayıların bir özelliğini daha keşfetti; tüm mükemmel sayılar iki çarpana ayrılabiliyordu. Bunlardan bir tanesi 2’nin kuvveti iken, diğeri (ikinin bir sonraki kuvveti – 1’di)

6 = 2^1 . ( 2^2 – 1)

28 = 2^2 . ( 2^3 – 1)

496 = 2^3 . ( 2^4 – 1)

.
.
.

Bu yöntemi kullanarak sınırsız sayıda mükemmel sayı bulabiliriz.
Örneğin;

2^8 . ( 2^9 – 1) = bir mükemmel sayı verir.

2. Friedman sayıları:
Elimizde bir tam sayı olsun. Eğer sadece toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerini kullanarak sayının rakamlarından, kendisini elde edebiliyorsak bu sayı Friedman sayısıdır.

25 = (5^2 ) , 121 = (11^2 ) , 126 = (6.21)

En ilginç Friedman sayıları 123456789 ve 987654321 sayılarıdır;

987654321 = [8.(97+6/2)^5 +1] / 3^4

123456789 = [(86+2.7)^5 – 91] / 3^4

3.Strobogramatik Sayılar (SG sayıları):Fiziksel olarak 180 derece ters çevrildiklerinde herhangi bir değer değişikliği yaşamayan sayılara SG sayılar denir. Örneğin; 0, 1, 8, 11, 69, 88, 96… sayıları SG sayılardır. SG sayılardan biraz daha ilginç olanı SG eşitlikleridir. Eğer bir eşitlik SG özelliğini sağlıyorsa, eşitliğin işlem tarafı 180 derece çevrildiğinde eşitlik yine aynı sonucu verecektir. Mesela; (68+68+61) = 197’dir. Şimdi eşitliğin işlem tarafını 180 derece çevirelim: ( 89+89+19) = yine 197’ dir.

Yani; ( 68+68+68 ) = (89+89+19)

Bunlar dışında üs alma işlemi de SG eşitliği yaratmada kullanılabilir;

9^(9-6) = (9-6)^6

Son olarak işte birkaç SG eşitliği;

(91-16+8) = (8+91-16)
(98+18+19) = (61+81+86)

4.Palindromik Sayılar:
Palindromik sayılar, sağdan-sola doğru ve soldan-sağa doğru okunduklarında değer değişikliği yaşamayan sayılardır.

1881, 1991, 1001, 10001, 12621, 79388397, 82954345928…….

5.Üçgen Sayılar:1’den başlamak üzere kendisinden önceki tüm sayıların toplamına karşılık gelen sayıların dizisidir.

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14….. pozitif doğal sayılar ise üçgen sayılar; 1,3,6,10,15… dir.
1
3 = (1+2) [resim1]
6 = (1+2+3)
10 = (1+2+3+4)
15 = (1+2+3+4+5)
.
.
.

6. 37 sayısındaki sihir:
37 sayısı matematikte 23 ile birlikte belki de en güzel ahenk ve eşitlikleri veren sayıdır. İşte bir örnek;

37. 3 = 111
37. 6 = 222
37. 9 = 333
37.12 = 444
.
.
.
37.27 = 999

Yukarıda gördüğümüz gibi sayımız 3 ve 3’ün katlarıyla çarpıldığında ilginç bir tablo oluşuyor. 37 sayısının özellikleri bununla sınırlı değil;

37. (3+7) = 3^3 + 7^3 Sayıların kendi içlerinde yarattığı uyum gerçekten şaşırtıcı ve mükemmel.

3^2 . 7^3 – 3.7 =37

Tüm bunlarla birlikte 37 sayısının belki de en güzel özelliğini Ramunujan bulmuştur;

037, 370, 703 (1, 10, 19) Parantez içindeki sayıların sırasıyla 37 ile çar-
074, 407, 740 (2, 11, 20) pımından yine sırasıyla soldaki sayılar oluşuyor.
148, 481, 814 (4, 13, 22) Dikkat ederseniz soldaki sayıların rakamları aynı,
185, 518, 851 (5, 14, 23) sadece yerleri değişiktir. Parantez içindeki sayıların
259, 592, 925 (7, 16, 25) arasında ise 9’ar fark vardır.
296, 629, 962 (8, 17, 26)

İlginç eşitlikler:
12.42 = 21.24
23.96 = 32.69
24.84 = 42.48
13.62 = 31.26
46.96 = 64.69

1 . 8 + 1 = 9
12 . 8 + 2 = 98
123 . 8 + 3 = 987
1234 . 8 + 4 = 9876
12345 . 8 + 5 = 98765
123456 . 8 + 6 = 987654
1234567 . 8 + 7 = 9876543
12345678 . 8 + 8 = 98765432
123456789 . 8 + 9 = 987654321

1 . 9 + 2 = 11
12 . 9 + 3 = 111
123 . 9 + 4 = 1111
1234 . 9 + 5 = 11111
12345 . 9 + 6 = 111111
123456 . 9 + 7 = 1111111
1234567 . 9 + 8 = 11111111
12345678 . 9 + 9 = 111111111
123456789 . 9 +10= 1111111111

9 . 9 + 7 = 88
98 . 9 + 6 = 888
987 . 9 + 5 = 8888
9876 . 9 + 4 = 88888
98765 . 9 + 3 = 888888
987654 . 9 + 2 = 8888888
9876543 . 9 + 1 = 88888888
98765432 . 9 + 0 = 888888888

1+2 = 3
4+5+6 = 7+8
9+10+11+12 = 13+14+15
16+17+18+19+20 = 21+22+23+24
25+26+27+28+29+30 = 31+32+33+34+35

Yazar: Gazanfer TUFAN